La geometría de la media es la que se razona y se calcula: los ángulos en la circunferencia (del centro, inscrito, semiinscrito), la semejanza y las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, el teorema de Euclides, las homotecias (y su versión vectorial), y las áreas y volúmenes de los cuerpos de rotación (cilindro, cono, esfera) junto a sectores y segmentos circulares. La prueba casi nunca pide una definición: te da una figura o una situación y te pide resolverla. Aquí estudiamos cada idea desde cero, con esquemas y casos tipo ECEP resueltos tal como aparecen en el examen.
Subdominios 3.1 a 3.4 del temario Con esquemas y figuras Casos tipo ECEP resueltos
Geometría de Media: cuerpos generados por rotación, áreas y volúmenes, trigonometría y vectores.
Subdominio 3.1 · Ángulos en la circunferencia
Las propiedades de los ángulos y cómo determinan medidas
En este subdominio la prueba te entrega una circunferencia con uno o más ángulos dibujados y te pide calcular una medida usando las propiedades. La idea que ordena casi todo es una sola: cada tipo de ángulo se relaciona con el arco que abarca de una forma fija. Si dominas esa relación —y la combinas con congruencia y semejanza de los triángulos que se forman—, resuelves cualquier ítem. Recuerda que la prueba no permite calculadora, así que conviene trabajar con fracciones y valores exactos.
3.1
Ángulo del centro y ángulo inscrito sobre el mismo arco
Desde cero
Todo ángulo dibujado en una circunferencia "abarca" un arco. Su medida depende de dónde está el vértice:
Ángulo del centro: su vértice está en el centro $O$. Su medida es igual a la del arco que abarca. Si el arco $AB$ mide $80°$, el ángulo del centro $AOB$ mide $80°$.
Ángulo inscrito: su vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas. Su medida es la mitad del arco que abarca (y, por lo tanto, la mitad del ángulo del centro que abarca ese mismo arco).
Regla de oro: inscrito $=$ mitad del central cuando ambos "miran" el mismo arco. Por eso, $\text{inscrito} = \dfrac{\text{central}}{2}$ y $\text{central} = 2\cdot\text{inscrito}$.
Figura 1. Sobre el mismo arco $AB$: el ángulo del centro $AOB$ (rojo) mide $80°$ —igual que el arco—, y el ángulo inscrito $ACB$ (azul), con vértice $C$ en la circunferencia, mide $40°$, exactamente la mitad.
Dos consecuencias muy preguntadas
(1) El ángulo del semicírculo es recto. Si el arco es una semicircunferencia (el lado del ángulo pasa por un diámetro), el arco mide $180°$, así que todo ángulo inscrito en él mide $\frac{180°}{2}=90°$: el triángulo es rectángulo (teorema de Tales). (2) Inscritos sobre el mismo arco son iguales. Dos ángulos inscritos que abarcan el mismo arco miden lo mismo, sin importar dónde esté el vértice, porque ambos valen la mitad de ese arco.
Ejemplo resuelto: del central al inscrito
En una circunferencia, el ángulo del centro $AOB$ mide $130°$. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito $ACB$ que abarca el mismo arco $AB$?
Paso 1. El arco $AB$ mide lo mismo que el ángulo del centro: $130°$.
Paso 2. El inscrito es la mitad del arco: $\frac{130°}{2} = 65°$.
El ángulo inscrito mide $65°$. (Comprobación de la regla: $\text{central} = 2\cdot\text{inscrito} = 2\cdot 65° = 130°$. ✓)
Error típico
Creer que el ángulo inscrito es igual al ángulo del centro (en vez de la mitad). Si el central mide $80°$, el inscrito sobre el mismo arco mide $40°$, no $80°$. El otro error es olvidar que la relación solo vale cuando ambos ángulos abarcan el mismo arco: si miran arcos distintos, no hay relación directa.
Auto-chequeo Un ángulo inscrito mide $35°$. ¿Cuánto mide el ángulo del centro que abarca el mismo arco?
El central es el doble del inscrito: $2 \times 35° = \mathbf{70°}$. (El arco también mide $70°$, igual que el central.)
Auto-chequeo Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia y el lado $AB$ es un diámetro. ¿Cuánto mide el ángulo $\angle ACB$?
$90°$. Al estar inscrito en una semicircunferencia (el arco $AB$ mide $180°$), el ángulo vale $\frac{180°}{2}=90°$. Es el teorema de Tales: todo triángulo con un lado igual al diámetro es rectángulo.
Pregunta tipo ECEP
En una circunferencia de centro $O$, los puntos $A$, $B$ y $C$ están sobre ella. El ángulo del centro $\angle AOB$, que abarca el arco $AB$, mide $96°$. Sobre ese mismo arco, ¿cuánto mide el ángulo inscrito $\angle ACB$ con vértice en $C$?
A) $192°$
B) $48°$
C) $96°$
D) $42°$
Correcta: B. El ángulo inscrito es la mitad del ángulo del centro que abarca el mismo arco: $\frac{96°}{2}=48°$. A ($192°$) duplica en vez de dividir. C ($96°$) es el error típico: tomar el inscrito igual al central. D ($42°$) resta $90°-48°$ o confunde con un complemento que no corresponde.
Pregunta tipo ECEP
Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia y uno de sus lados, $AB$, coincide con un diámetro. Si el ángulo $\angle BAC$ mide $35°$, ¿cuánto mide el ángulo $\angle ABC$?
A) $55°$
B) $35°$
C) $90°$
D) $145°$
Correcta: A. Como $AB$ es diámetro, el ángulo inscrito $\angle ACB$ vale $90°$ (teorema de Tales). Los ángulos del triángulo suman $180°$, así que $\angle ABC = 180° - 90° - 35° = 55°$. C ($90°$) es el ángulo recto en $C$, no el pedido. B ($35°$) repite el dato. D ($145°$) suma $90°+55°$ o resta mal.
3.1
Ángulo semiinscrito, interior y exterior
Desde cero
Además del central y el inscrito, el temario pide tres ángulos más, cada uno con su regla, siempre en función de los arcos que intervienen:
Semiinscrito (vértice en la circunferencia, un lado tangente y el otro cuerda): mide la mitad del arco que encierra. Igual que el inscrito: $\frac{\text{arco}}{2}$.
Interior (vértice dentro de la circunferencia, donde se cruzan dos cuerdas): mide la semisuma de los dos arcos opuestos que abarca: $\frac{\text{arco}_1 + \text{arco}_2}{2}$.
Exterior (vértice fuera, formado por dos secantes, dos tangentes o una de cada): mide la semidiferencia de los dos arcos que abarca: $\frac{\text{arco mayor} - \text{arco menor}}{2}$.
Una sola tabla para no olvidar
Todos los ángulos de la circunferencia se reducen a operar con arcos. Conviene memorizar este resumen:
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos opuestos que el ángulo abarca miden $70°$ y $40°$. ¿Cuánto mide el ángulo interior?
Paso 1. El interior es la semisuma de los arcos opuestos: $\frac{70° + 40°}{2}$.
Paso 2. Calculo: $\frac{110°}{2} = 55°$.
El ángulo interior mide $55°$.
Ejemplo resuelto: ángulo exterior
Desde un punto exterior se trazan dos secantes que determinan arcos de $120°$ (el lejano) y $30°$ (el cercano). ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice exterior?
Paso 1. El exterior es la semidiferencia: $\frac{120° - 30°}{2}$.
Paso 2. Calculo: $\frac{90°}{2} = 45°$.
El ángulo exterior mide $45°$. Nota la diferencia con el interior: dentro se suma, fuera se resta.
Error típico
Confundir la regla del interior (semisuma de arcos) con la del exterior (semidiferencia). Truco: el vértice dentro "abre" hacia dos arcos y los suma; el vértice fuera "recorta" y se queda con la diferencia. Y no olvides dividir por $2$ en ambos casos.
Auto-chequeo Dos cuerdas se cruzan dentro de una circunferencia y abarcan arcos opuestos de $100°$ y $60°$. ¿Cuánto mide el ángulo interior?
Semisuma de los arcos: $\frac{100° + 60°}{2} = \frac{160°}{2} = \mathbf{80°}$.
Pregunta tipo ECEP
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Estas determinan en la circunferencia un arco lejano de $140°$ y un arco cercano de $50°$. ¿Cuánto mide el ángulo $\angle P$ con vértice en el punto exterior?
A) $95°$
B) $90°$
C) $45°$
D) $190°$
Correcta: C. El ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos: $\frac{140° - 50°}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$. A ($95°$) es la semisuma $\frac{140°+50°}{2}$, la regla del ángulo interior, no del exterior. D ($190°$) suma los arcos sin dividir. B ($90°$) toma la diferencia $140°-50°$ pero olvida dividir por $2$.
Pregunta tipo ECEP
En una circunferencia, dos cuerdas se cortan en un punto interior. El ángulo que se forma abarca arcos opuestos de $48°$ y $96°$. ¿Cuánto mide ese ángulo interior?
A) $144°$
B) $48°$
C) $24°$
D) $72°$
Correcta: D. El ángulo interior es la semisuma de los arcos opuestos: $\frac{48° + 96°}{2} = \frac{144°}{2} = 72°$. A ($144°$) suma los arcos pero olvida dividir por $2$. C ($24°$) usa la semidiferencia $\frac{96°-48°}{2}$, que es la regla del ángulo exterior. B ($48°$) repite un arco.
Subdominio 3.2 · Semejanza y proporcionalidad de figuras planas
Razones, trigonometría, homotecia y Euclides
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Esa idea —la razón de semejanza $k$— recorre todo el subdominio: las razones trigonométricas son razones entre lados de triángulos semejantes; la homotecia es la transformación que produce figuras semejantes; y el teorema de Euclides nace de la semejanza de los triángulos que aparecen al trazar la altura sobre la hipotenusa. Aquí la prueba te pide calcular en problemas rutinarios y no rutinarios.
3.2
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Desde cero
En un triángulo rectángulo, fijado un ángulo agudo, los tres lados reciben nombre: la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, el más largo), el cateto opuesto (enfrente del ángulo elegido) y el cateto adyacente (junto al ángulo elegido). Las razones trigonométricas son cocientes fijos entre esos lados —fijos porque todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo son semejantes—:
Figura 2. En el triángulo rectángulo, respecto del ángulo $\alpha$: la hipotenusa (frente al ángulo recto), el cateto opuesto (frente a $\alpha$) y el cateto adyacente (junto a $\alpha$). Las razones son cocientes entre esos lados.
Valores exactos que debes memorizar
Como no hay calculadora, la prueba usa los ángulos notables $30°$, $45°$ y $60°$, cuyos valores conviene saber de memoria:
$\alpha$
$\operatorname{sen}\alpha$
$\cos\alpha$
$\tan\alpha$
$30°$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$1$
$60°$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$\sqrt{3}$
Figura 3. El círculo unitario (radio 1): para un ángulo α, el punto sobre la circunferencia tiene coordenadas (cos α, sen α). El coseno es la proyección horizontal y el seno la vertical; su signo depende del cuadrante.
Ejemplo resuelto: hallar un cateto
En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide $30°$ y la hipotenusa mide $10$ cm. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a ese ángulo?
Paso 1. El cateto opuesto se relaciona con la hipotenusa por el seno: $\operatorname{sen}30° = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$.
Ejemplo resuelto: problema no rutinario (la sombra)
Un poste proyecta una sombra de $12$ m cuando los rayos del sol forman $45°$ con el suelo. ¿Cuál es la altura del poste?
Paso 1. La altura es el cateto opuesto al ángulo y la sombra es el cateto adyacente; los relaciona la tangente: $\tan45° = \frac{\text{altura}}{\text{sombra}}$.
El poste mide $12$ m (con $45°$, altura y sombra coinciden, porque la tangente vale $1$).
Error típico
Equivocarse de razón: usar el coseno (que va con el cateto adyacente) cuando el dato es el cateto opuesto, o al revés. Antes de elegir, pregúntate qué lados intervienen: si aparecen opuesto e hipotenusa → seno; adyacente e hipotenusa → coseno; los dos catetos → tangente.
Auto-chequeo En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo mide $6$ y el adyacente mide $8$. ¿Cuánto vale la tangente de ese ángulo?
Una rampa para sillas de ruedas forma un ángulo de $30°$ con el suelo y su superficie inclinada (la hipotenusa) mide $6$ m de largo. Para verificar la norma, un docente pide calcular la altura que alcanza la rampa en su extremo superior. ¿Cuál es esa altura?
A) $6$ m
B) $3\sqrt{3}$ m
C) $3$ m
D) $12$ m
Correcta: C. La altura es el cateto opuesto al ángulo de $30°$ y el dato es la hipotenusa, así que se usa el seno: $\text{altura} = 6\cdot\operatorname{sen}30° = 6\cdot\frac{1}{2} = 3$ m. B ($3\sqrt{3}$) usa el coseno ($6\cdot\frac{\sqrt3}{2}$), que da el cateto adyacente (lo que avanza en el suelo), no la altura. A ($6$) repite la hipotenusa sin aplicar razón. D ($12$) multiplica por $2$ en vez de aplicar $\operatorname{sen}30°=\frac12$.
Pregunta tipo ECEP
Desde un punto del suelo se observa la punta de un árbol con un ángulo de elevación de $60°$. La distancia horizontal del observador al pie del árbol es de $4$ m. Suponiendo que el observador mide la altura desde el suelo, ¿cuál es la altura del árbol?
A) $4\sqrt{3}$ m
B) $4$ m
C) $2\sqrt{3}$ m
D) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
Correcta: A. La altura es el cateto opuesto al ángulo y la distancia horizontal el adyacente: se usa la tangente. $\text{altura} = 4\cdot\tan 60° = 4\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ m. D ($\frac{4\sqrt3}{3}$) usa $\tan 30°=\frac{\sqrt3}{3}$ en vez de $\tan 60°$. C ($2\sqrt3$) toma la mitad. B ($4$) repite la distancia sin aplicar la razón.
3.2
Homotecia: lados, ángulos, perímetro y área de figuras semejantes
Desde cero
Una homotecia es una transformación que agranda o achica una figura desde un punto fijo, el centro de homotecia $O$, según un número llamado razón $k$. Cada punto $P$ se manda a un punto $P'$ alineado con $O$, de modo que $\overline{OP'} = k\cdot\overline{OP}$. La figura resultante es semejante a la original:
Los ángulos se conservan (la forma no cambia).
Los lados y el perímetro se multiplican por $|k|$ (la razón de semejanza).
El área se multiplica por $k^2$ (¡el cuadrado de la razón!).
Si $|k|>1$ la figura crece; si $0<|k|<1$ se achica; si $k<0$ además queda al otro lado del centro (invertida).
Figura 4. Homotecia de centro $O$ y razón $k=2$: cada vértice se aleja al doble de su distancia a $O$. Los lados y el perímetro se duplican, pero el área se cuadruplica ($k^2 = 4$); los ángulos no cambian.
Ejemplo resuelto: cómo cambian perímetro y área
Un rectángulo de perímetro $20$ cm y área $24$ cm² se transforma por una homotecia de razón $k=3$. ¿Cuáles son el perímetro y el área de la figura imagen?
Perímetro: se multiplica por $k$: $20 \times 3 = 60$ cm.
Área: se multiplica por $k^2$: $24 \times 3^2 = 24 \times 9 = 216$ cm².
Perímetro $60$ cm y área $216$ cm². La clave es no usar $k$ para el área: el área va con $k^2$.
Error típico
Multiplicar el área por $k$ en vez de por $k^2$. Si los lados crecen al triple, el área no crece al triple, sino nueve veces ($3^2$). El otro error es creer que la homotecia cambia los ángulos: no lo hace; por eso la figura es semejante (misma forma).
Auto-chequeo Una figura se reduce con una homotecia de razón $k=\frac{1}{2}$. ¿Por cuánto queda multiplicada su área?
El área se multiplica por $k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. La figura imagen tiene un cuarto del área original (no la mitad).
Pregunta tipo ECEP
Un triángulo de área $5$ cm² se amplía mediante una homotecia de centro $O$ y razón $k=4$. Un estudiante afirma que, como los lados se hacen $4$ veces mayores, el área también se hace $4$ veces mayor, es decir $20$ cm². ¿Cuál es el área correcta de la figura ampliada y por qué?
A) $20$ cm², porque el área se multiplica por la misma razón $k=4$ que los lados.
B) $80$ cm², porque el área se multiplica por $k^2 = 16$.
C) $40$ cm², porque el área se multiplica por $2k = 8$.
D) $9$ cm², porque al área se le suma la razón al cuadrado.
Correcta: B. En una homotecia los lados se multiplican por $k$, pero el área lo hace por $k^2$: aquí $5 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80$ cm². A es justo el error del estudiante (multiplicar el área por $k$, no por $k^2$). C usa $2k$, que no corresponde. D suma en lugar de multiplicar. La proporción de áreas entre figuras semejantes es siempre el cuadrado de la razón de semejanza.
3.2
Teorema de Euclides: altura y catetos como trazos proporcionales
Desde cero
Al trazar la altura $h$ desde el ángulo recto hacia la hipotenusa de un triángulo rectángulo, esta queda dividida en dos trozos, las proyecciones de los catetos: $p$ (bajo un cateto) y $q$ (bajo el otro). Se forman tres triángulos semejantes, y de esa semejanza salen las relaciones de Euclides:
Teorema de la altura: la altura es media proporcional entre las dos proyecciones. $h^2 = p\cdot q$.
Teorema del cateto: cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa $c$ y su proyección. $a^2 = c\cdot p$ y $b^2 = c\cdot q$.
(Aquí $c = p + q$ es la hipotenusa completa.)
Figura 5. Altura $h$ desde el ángulo recto $C$ sobre la hipotenusa $AB$, que se parte en las proyecciones $p$ y $q$. Teorema de la altura: $h^2=p\cdot q$. Teorema del cateto: $a^2=c\cdot p$ y $b^2=c\cdot q$.
Ejemplo resuelto: la altura
La altura sobre la hipotenusa divide a esta en proyecciones de $9$ cm y $4$ cm. ¿Cuánto mide la altura $h$?
Paso 1. Teorema de la altura: $h^2 = p\cdot q = 9 \cdot 4 = 36$.
Paso 2. Saco raíz: $h = \sqrt{36} = 6$ cm.
La altura mide $6$ cm.
Ejemplo resuelto: un cateto
En el mismo triángulo, la hipotenusa mide $c = 9 + 4 = 13$ cm. ¿Cuánto mide el cateto $a$ cuya proyección es $p=9$?
Paso 1. Teorema del cateto: $a^2 = c\cdot p = 13 \cdot 9 = 117$.
El cateto mide $3\sqrt{13}$ cm. Ojo: el cateto va con su propia proyección y con la hipotenusa completa, no con la altura.
Error típico
Confundir la altura con un cateto. La altura cumple $h^2 = p\cdot q$ (producto de las dos proyecciones); el cateto cumple $a^2 = c\cdot p$ (hipotenusa completa por su proyección). Si en el ejemplo usaras $h^2 = c\cdot p = 13\cdot 9$ obtendrías el cateto, no la altura: son fórmulas distintas para trazos distintos.
Auto-chequeo Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden $16$ cm y $4$ cm. ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto divide la hipotenusa en dos proyecciones que miden $8$ cm y $2$ cm. ¿Cuánto mide dicha altura?
A) $10$ cm
B) $4$ cm
C) $5$ cm
D) $16$ cm
Correcta: B. Por el teorema de la altura, $h^2 = p\cdot q = 8\cdot 2 = 16$, de donde $h = \sqrt{16} = 4$ cm. A ($10$) suma las proyecciones (eso da la hipotenusa, no la altura). C ($5$) saca el promedio $\frac{8+2}{2}$. D ($16$) olvida sacar la raíz: $16$ es $h^2$, no $h$. El error de fondo es tratar la altura como si fuera un cateto.
Subdominio 3.3 · Áreas, volúmenes y cuerpos geométricos
De la figura plana al cuerpo, y de vuelta a su medida
Aquí la prueba une dos ideas: cómo se generan los cuerpos redondos (cilindro, cono, esfera) al rotar o trasladar una figura plana, y cómo se calculan sus áreas y volúmenes junto a las de sectores y segmentos circulares. La estrategia es siempre identificar primero la figura que gira (rectángulo, triángulo, semicírculo) y luego aplicar la fórmula correcta, cuidando las unidades —longitud (cm), área (cm²) o volumen (cm³)— y dejando, cuando se pide, la respuesta en función de $\pi$.
3.3
Cuerpos generados por rotación o traslación de una figura plana
Desde cero
Un cuerpo de rotación se forma cuando una figura plana gira $360°$ alrededor de un eje. La figura "barre" el espacio y genera un cuerpo redondo:
Rectángulo girando sobre uno de sus lados → cilindro.
Triángulo rectángulo girando sobre un cateto → cono.
Semicírculo girando sobre su diámetro → esfera.
En cambio, un cuerpo se genera por traslación cuando una figura plana se desliza en línea recta sin girar: un rectángulo trasladado genera un prisma; un círculo trasladado genera un cilindro (también puede verse así). La diferencia es clara: rotación = girar; traslación = deslizar.
Figura 6. Cuerpos de rotación: un rectángulo que gira sobre uno de sus lados genera un cilindro; un triángulo rectángulo que gira sobre un cateto genera un cono. Un semicírculo girando sobre su diámetro generaría una esfera.
Ejemplo resuelto: ¿qué cuerpo se genera?
Un triángulo rectángulo de catetos $3$ cm y $4$ cm gira $360°$ tomando como eje el cateto de $4$ cm. ¿Qué cuerpo se forma y cuáles son su radio y su altura?
Cuerpo: al girar un triángulo rectángulo sobre un cateto, se genera un cono.
Altura: el cateto que sirve de eje, $4$ cm.
Radio: el otro cateto, que barre el círculo de la base, $3$ cm.
Se forma un cono de altura $4$ cm y radio $3$ cm (la hipotenusa, $5$ cm, sería la generatriz).
Error típico
Confundir rotación con traslación, o asignar mal el eje. Si el triángulo girara sobre la hipotenusa, no se forma un cono simple sino un cuerpo doble. Fija siempre el eje de giro: el lado pegado al eje no se mueve (es la altura o el diámetro), y el lado perpendicular es el que genera el radio.
Auto-chequeo ¿Qué cuerpo se genera al hacer girar un semicírculo $360°$ alrededor de su diámetro?
Una esfera. El radio del semicírculo pasa a ser el radio de la esfera. (Si girara solo un cuarto de círculo se obtendría una semiesfera.)
Pregunta tipo ECEP
Una docente proyecta la animación de un rectángulo de lados $5$ cm y $8$ cm que gira $360°$ alrededor de uno de sus lados de $8$ cm. Pregunta a su curso qué cuerpo geométrico se genera. ¿Cuál es la respuesta correcta?
A) Un cono de altura $8$ cm.
B) Un cilindro de altura $8$ cm y radio $5$ cm.
C) Una esfera de radio $5$ cm.
D) Un prisma rectangular de $5$ cm por $8$ cm.
Correcta: B. Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados genera un cilindro: el lado-eje ($8$ cm) es la altura y el lado perpendicular ($5$ cm) es el radio de las bases. A (cono) requiere girar un triángulo, no un rectángulo. C (esfera) saldría de un semicírculo. D (prisma) corresponde a una traslación (deslizar la figura), no a una rotación.
Pregunta tipo ECEP
Un docente muestra cuatro situaciones de generación de cuerpos. ¿En cuál de ellas el cuerpo se genera por traslación (deslizamiento) de una figura plana, y no por rotación?
A) Un triángulo rectángulo que gira $360°$ en torno a uno de sus catetos.
B) Un semicírculo que gira $360°$ en torno a su diámetro.
C) Un rectángulo que gira $360°$ en torno a uno de sus lados.
D) Un triángulo que se desliza en línea recta de forma perpendicular a su plano.
Correcta: D. Deslizar una figura plana en línea recta (sin girar) es una traslación: el triángulo que avanza perpendicular a su plano genera un prisma triangular. A genera un cono, B una esfera y C un cilindro: las tres son rotaciones ($360°$ sobre un eje), no traslaciones.
3.3
Perímetros y áreas de sectores y segmentos circulares
Desde cero
Un sector circular es la "porción de pizza": la región encerrada por dos radios y el arco entre ellos. Un segmento circular es la región entre una cuerda y su arco (el sector menos el triángulo). Todo se obtiene tomando la fracción del círculo que corresponde al ángulo central $\alpha$ (de $360°$):
Área del sector: $A = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2$ (la fracción $\frac{\alpha}{360°}$ del área total $\pi r^2$).
Longitud del arco: $\ell = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r$.
Perímetro del sector: el arco $+$ los dos radios: $P = \ell + 2r$.
Área del segmento: área del sector $-$ área del triángulo que forman los dos radios.
Figura 7. El sector circular (izquierda) está limitado por dos radios y un arco; el segmento circular (derecha) está limitado por una cuerda y su arco. El segmento es el sector menos el triángulo central.
Ejemplo resuelto: área de un sector
Un sector circular tiene radio $6$ cm y ángulo central $90°$. ¿Cuál es su área? (Usa $\pi\approx 3{,}14$.)
Paso 1. La fracción del círculo es $\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$.
Paso 2. Área total del círculo: $\pi r^2 = 3{,}14 \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04$ cm².
Paso 3. Área del sector: $\frac{1}{4}\cdot 113{,}04 = 28{,}26$ cm².
El sector mide $28{,}26$ cm² (equivale a $9\pi$ cm² si se deja con $\pi$: $\frac{1}{4}\cdot 36\pi = 9\pi$).
Error típico
Olvidar la fracción $\frac{\alpha}{360°}$ y calcular el área del círculo completo, o confundir el perímetro del sector (que incluye los dos radios además del arco) con la sola longitud del arco. El perímetro de la "porción de pizza" lleva sus dos bordes rectos: $P = \ell + 2r$.
Auto-chequeo ¿Cuánto mide el arco de un sector de radio $10$ cm y ángulo central $36°$? (Deja la respuesta con $\pi$.)
$\ell = \frac{36°}{360°}\cdot 2\pi r = \frac{1}{10}\cdot 2\pi\cdot 10 = \frac{1}{10}\cdot 20\pi = \mathbf{2\pi}$ cm.
Pregunta tipo ECEP
Un sector circular tiene radio $4$ cm y un ángulo central de $90°$. Para una guía de geometría, un docente pide el área de ese sector, dejando el resultado en función de $\pi$. ¿Cuál es?
A) $16\pi\ \text{cm}^2$
B) $8\pi\ \text{cm}^2$
C) $4\pi\ \text{cm}^2$
D) $2\pi\ \text{cm}^2$
Correcta: C. El sector es $\frac{90°}{360°} = \frac14$ del círculo. Área del círculo: $\pi r^2 = \pi\cdot 4^2 = 16\pi$. Sector: $\frac14\cdot 16\pi = 4\pi$ cm². A ($16\pi$) es el círculo completo (olvida la fracción $\frac14$). B ($8\pi$) toma la mitad en vez del cuarto. D ($2\pi$) corresponde a la longitud del arco, no al área.
3.3
Volúmenes de conos y esferas; áreas de regiones circulares
Desde cero
Las fórmulas de los cuerpos redondos se ordenan recordando una relación clave: el cono es un tercio del cilindro de igual base y altura. Memoriza este cuadro:
Cuerpo
Volumen
Área (superficie)
Cilindro
$V = \pi r^2 h$
$A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Cono
$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
$A_{\text{lateral}} = \pi r g$ ($g=$ generatriz)
Esfera
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
$A = 4\pi r^2$
Para el cono, la generatriz $g$ (el "lado inclinado") cumple $g^2 = r^2 + h^2$ por Pitágoras. El área total del cono suma la base: $A_{\text{total}} = \pi r^2 + \pi r g$.
Figura 8. Los cuerpos redondos con sus elementos rotulados: radio r, altura h y generatriz g. El cono es un tercio del cilindro de igual base y altura; en el cono, g² = r² + h².
Ejemplo resuelto: volumen de un cono
Un cono tiene radio $3$ cm y altura $5$ cm. ¿Cuál es su volumen, en función de $\pi$?
Paso 1. Fórmula del cono: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Olvidar el $\frac{1}{3}$ del cono (y calcularlo como cilindro), o cubicar mal la esfera (elevar $r$ al cuadrado en vez de al cubo: el volumen de la esfera va con $r^3$). También se confunde el área lateral del cono ($\pi r g$) con el área total ($\pi r g + \pi r^2$), que agrega la base.
Auto-chequeo Un cilindro tiene radio $2$ cm y altura $6$ cm. ¿Cuál es su volumen en función de $\pi$?
Un cono y un cilindro tienen la misma base (radio $r$) y la misma altura ($h$). Un estudiante calcula el volumen del cono usando $V = \pi r^2 h$. Al revisar, el docente le hace ver su error. ¿Cuál es la relación correcta entre el volumen del cono y el del cilindro?
A) El cono tiene el mismo volumen que el cilindro.
B) El cono tiene la mitad del volumen del cilindro.
C) El cono tiene un tercio del volumen del cilindro.
D) El cono tiene el doble del volumen del cilindro.
Correcta: C. El volumen del cono es $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$: exactamente un tercio del cilindro de igual base y altura ($\pi r^2 h$). El error del estudiante fue usar la fórmula del cilindro para el cono, olvidando el factor $\frac13$. A los iguala (ese es el error). B usa $\frac12$, que no corresponde a ningún cuerpo aquí. D invierte la relación.
Pregunta tipo ECEP
Una esfera tiene radio $6$ cm. Para una guía, un docente pide su volumen dejando el resultado en función de $\pi$. ¿Cuál es?
A) $144\pi\ \text{cm}^3$
B) $432\pi\ \text{cm}^3$
C) $216\pi\ \text{cm}^3$
D) $288\pi\ \text{cm}^3$
Correcta: D. Volumen de la esfera: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 216 = \frac{864}{3}\pi = 288\pi$ cm³. A ($144\pi$) usa el área de la superficie $4\pi r^2 = 4\pi\cdot 36$, no el volumen. C ($216\pi$) olvida el factor $\frac43$ (deja solo $\pi r^3$). B ($432\pi$) usa $2\pi r^3$ en vez de $\frac43\pi r^3$.
Subdominio 3.4 · Vectores
La homotecia escrita con vectores
El último subdominio conecta la geometría con el álgebra de vectores. Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, y se escribe por sus componentes $\vec{v} = (x, y)$. La operación clave para la homotecia es el producto de un vector por un escalar: multiplicar $\vec{v}$ por un número $k$ alarga, acorta o invierte el vector sin cambiar (salvo signo) su dirección. Esa operación es exactamente la homotecia en forma vectorial.
3.4
Homotecia en forma vectorial: producto de un vector por un escalar
Desde cero
Para multiplicar un vector $\vec{v} = (x, y)$ por un escalar $k$, se multiplica cada componente por $k$:
$k\cdot\vec{v} = k\cdot(x, y) = (k\,x,\ k\,y)$.
Geométricamente, una homotecia de centro $O$ (el origen) y razón $k$ manda cada punto $P$, representado por su vector posición $\vec{OP}$, al punto $P'$ con $\vec{OP'} = k\cdot\vec{OP}$. Es decir: la homotecia es el producto del vector posición por el escalar $k$. Si $k=2$, cada vértice queda al doble de lejos del origen; si $k=-1$, queda simétrico respecto del origen (rotación de $180°$).
Figura 9. Homotecia vectorial de centro $O$ (origen) y razón $k=2$: el vector $\vec{v}=(2,1)$ se transforma en $k\cdot\vec{v} = 2\cdot(2,1) = (4,2)$, del doble de largo y la misma dirección. Multiplicar por el escalar $k$ es aplicar la homotecia.
Ejemplo resuelto: imagen de un punto
Sea $P=(3, -2)$ y una homotecia de centro en el origen y razón $k=3$. ¿Cuál es la imagen $P'$?
Paso 1. La imagen es el producto del vector posición por el escalar: $P' = k\cdot\vec{OP} = 3\cdot(3, -2)$.
Multiplicar el escalar por solo una componente (por ejemplo dar $(9, -2)$), o sumar $k$ a cada componente en lugar de multiplicar. El producto por escalar afecta a ambas coordenadas por igual: $k\cdot(x,y)=(kx,ky)$. Y recuerda el signo: si una componente es negativa, conserva su signo tras multiplicar por un $k$ positivo.
Auto-chequeo Dado $\vec{v}=(-4, 6)$, ¿cuál es $\frac{1}{2}\cdot\vec{v}$?
Se multiplica cada componente por $\frac12$: $\frac12\cdot(-4, 6) = (-2, 3)$. El vector queda a la mitad de largo, en la misma dirección.
Pregunta tipo ECEP
En el plano cartesiano se aplica una homotecia de centro en el origen y razón $k=2$ al punto $A=(5, -3)$, representado por su vector posición. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen $A'$?
A) $(10, -6)$
B) $(7, -1)$
C) $(10, -3)$
D) $(2{,}5,\ -1{,}5)$
Correcta: A. La homotecia vectorial multiplica cada componente por $k=2$: $A' = 2\cdot(5, -3) = (10, -6)$. B ($7,-1$) suma $2$ a cada coordenada en vez de multiplicar. C ($10,-3$) multiplica solo la primera componente. D aplica $k=\frac12$ (achica) en vez de $k=2$ (agranda).
