Números · Dossier ECEP Media Matemática - Francisco Javier Núñez Valenzuela

Los conjuntos numéricos anidados y el número complejo representado en el plano.

Subdominio 1.1 · Sistemas numéricos

De los reales a los complejos

Este subdominio te pide caracterizar los números reales (distinguir racionales de irracionales con sus nociones básicas), ordenarlos y compararlos en distintos registros (cálculo, recta numérica, representaciones equivalentes), aplicar sus propiedades en problemas rutinarios y no rutinarios y, ya en un nivel nuevo de la media, operar con números complejos: suma, resta, multiplicación y división, además del conjugado, el módulo y su representación pictórica en el plano de Argand. La prueba no pide recitar definiciones: te entrega un cálculo o una situación y te pide resolver y justificar.

1.1

Caracterizar los números reales: racionales e irracionales

Desde cero

Los conjuntos numéricos se contienen unos a otros, como cajas dentro de cajas. Cada nuevo conjunto agrega los números que el anterior no podía representar:

Naturales (ℕ): los de contar: 1, 2, 3, 4, … (a veces se incluye el 0).
Enteros (ℤ): los naturales, sus opuestos negativos y el cero: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
Racionales (ℚ): todos los que se pueden escribir como fracción ^a⁄_b (con b ≠ 0). Incluyen a los enteros, los decimales finitos (0,75) y los decimales periódicos (0,333… = ¹⁄₃).
Irracionales (𝕀): los que no se pueden escribir como fracción; su expresión decimal es infinita y no periódica. Ejemplos: √2 = 1,41421356…, el número π = 3,14159… y el número e = 2,71828…
Reales (ℝ): la unión de racionales e irracionales. Llenan por completo la recta numérica, sin dejar huecos.

La regla de oro para clasificar: un número es racional si su decimal es finito o periódico (se puede volver fracción), e irracional si es infinito y sin patrón que se repita.

Figura 1. Los conjuntos numéricos se contienen: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Los reales son la unión de racionales (fracción, decimal finito o periódico) e irracionales (decimal infinito y no periódico). Los complejos amplían los reales para resolver, por ejemplo, √−1.

Cómo decidir si un número es racional o irracional

Número	¿Qué tipo de decimal?	Clase
0,75	finito	Racional (= ³⁄₄)
0,8333…	periódico (se repite el 3)	Racional (= ⁵⁄₆)
√9 = 3	raíz exacta	Racional (es entero)
√2 = 1,41421…	infinito, sin patrón	Irracional
π = 3,14159…	infinito, sin patrón	Irracional

Ojo con las raíces: √25 = 5 es racional (raíz exacta), pero √5 es irracional. La raíz cuadrada de un natural solo es racional cuando el número es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25…).

Ejemplo resuelto: pasar un decimal periódico a fracción

Mostremos que 0,8333… (con el 3 que se repite) es racional, encontrando su fracción. Llamemos x = 0,8333…

Paso 1. Multiplico por 10 para correr una cifra: 10x = 8,333…
Paso 2. Multiplico por 100: 100x = 83,333…
Paso 3. Resto la segunda menos la primera para borrar la cola infinita: 100x − 10x = 83,333… − 8,333…, es decir 90x = 75.
Paso 4. Despejo: x = ⁷⁵⁄₉₀ = ⁵⁄₆.

Como se pudo escribir como fracción, 0,8333… es racional. Todo decimal periódico admite esta técnica; por eso los periódicos son siempre racionales.

El error típico

Creer que "todo número con muchos decimales es irracional". Falso: 0,333… tiene infinitos decimales pero es racional (= ¹⁄₃), porque es periódico. Lo que define al irracional es que el decimal sea infinito y sin patrón que se repita. Otro error: pensar que √2 · √2 sigue siendo irracional; en realidad √2 · √2 = 2, un entero. El producto de dos irracionales puede ser racional.

En la ECEP

Aparecen ítems de clasificación ("¿cuál de estos números es irracional?") y de propiedades de los conjuntos ("¿la suma de un racional y un irracional es siempre…?"). Estrategia: para clasificar, intenta volver el número una fracción; si lo logras (finito o periódico), es racional; si es una raíz no exacta, π o e, es irracional. Para las propiedades, prueba con casos concretos antes de generalizar.

Auto-chequeo Clasifica como racional o irracional: √16, √7, ²²⁄₇, 1,202002000… (cada vez un cero más).

√16 = 4 racional (raíz exacta). √7 irracional (7 no es cuadrado perfecto). ²²⁄₇ racional (es una fracción; es una aproximación de π, no π mismo). 1,202002000… irracional: aunque parece tener regla, los bloques de ceros crecen y nunca se repite un período fijo.

Pregunta tipo ECEP

Sea r un número racional distinto de cero y sea s un número irracional. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El producto r · s es siempre racional, porque al multiplicar por una fracción el resultado vuelve a ser una fracción.
B) La suma r + s es siempre irracional, ya que sumar un racional no alcanza a "corregir" la cola infinita y no periódica de s.
C) El número s · s es siempre irracional, pues el producto de un irracional por sí mismo conserva la irracionalidad.
D) La suma r + s es siempre racional, porque al combinar un racional con cualquier real se obtiene de nuevo un racional.

Correcta: B. Sumar un racional a un irracional siempre da un irracional: si r + s fuera racional, entonces s = (r + s) − r sería diferencia de dos racionales, o sea racional, contradiciendo que s es irracional. A es falsa: r · s con r ≠ 0 es irracional (por el mismo argumento de despeje). C falla con un contraejemplo: √2 · √2 = 2 es racional. D contradice directamente a B.

Pregunta tipo ECEP

De los siguientes números, ¿cuál es irracional?

A) √49, porque toda raíz cuadrada representa un número de decimales infinitos.
B) 0,454545… (el 45 que se repite), porque sus decimales no terminan nunca.
C) ⁹⁄₄, porque al estar escrito como fracción su valor no puede determinarse con exactitud.
D) √7, porque su expresión decimal es infinita y no periódica, y 7 no es cuadrado perfecto.

Correcta: D. √7 es irracional: 7 no es cuadrado perfecto, así que su decimal (2,6457…) es infinito y sin período. A es racional: √49 = 7, un entero (no toda raíz es irracional). B es racional: un decimal periódico siempre equivale a una fracción (0,454545… = ⁵⁄₁₁). C es racional por ser una fracción de enteros (⁹⁄₄ = 2,25).

1.1

Ordenar y comparar números reales (cálculo, recta y representaciones)

Desde cero

Comparar reales es decidir cuál es mayor; ordenar es ponerlos en fila. La idea que gobierna todo es la recta real: a la derecha está siempre lo mayor, a la izquierda lo menor. Como los reales llenan la recta sin huecos, cualquier irracional tiene su lugar exacto entre racionales.

Tres herramientas para comparar cuando los números vienen en formatos distintos:

Llevar a un mismo formato: pasar todo a decimal (dividir) o a fracción con denominador común.
Acotar los irracionales: √2 está entre 1 y 2 (porque 1² = 1 y 2² = 4); más fino, entre 1,4 y 1,5 (porque 1,4² = 1,96 y 1,5² = 2,25). Así lo ubicas sin calculadora.
Comparar cuadrados (solo positivos): si a, b > 0, entonces a < b equivale a a² < b². Útil para comparar raíces: √5 vs. 2 → comparo 5 vs. 4 → √5 > 2.

Figura 2. En la recta real cada irracional ocupa un punto exacto: √2 ≈ 1,41 cae entre 1 y 2; √5 ≈ 2,24 cae entre 2 y 3. Para ubicarlos sin calculadora basta acotar con cuadrados perfectos.

Ejemplo resuelto: ordenar reales de distinto tipo

Ordenemos de menor a mayor: ⁵⁄₂, √5, 2,3, ⁷⁄₃.

Paso 1. Llevo todo a decimal. ⁵⁄₂ = 2,5. ⁷⁄₃ = 2,333… 2,3 ya es decimal.
Paso 2. Acoto √5: como 2,2² = 4,84 y 2,3² = 5,29, √5 está entre 2,2 y 2,3; con más cifras, √5 ≈ 2,236.
Paso 3. Comparo los decimales: 2,3 < 2,333… < 2,236? Cuidado: 2,236 < 2,3. Ordeno de menor a mayor: 2,236 < 2,3 < 2,333… < 2,5.

Orden final: √5 < 2,3 < ⁷⁄₃ < ⁵⁄₂. Pasar todo a un mismo formato (aquí, decimal) evita confundirse entre fracciones y raíces.

El error típico

Comparar √5 con 2,3 "a ojo" y suponer que √5 > 2,3 porque "5 es grande". No: √5 ≈ 2,236, que es menor que 2,3. El truco seguro es elevar al cuadrado (con positivos): 2,3² = 5,29 > 5, luego 2,3 > √5. Otro error: creer que ⁷⁄₃ = 2,3; en realidad ⁷⁄₃ = 2,333…, que es mayor que 2,3.

En la ECEP

Te dan listas mezcladas de fracciones, decimales y raíces y piden el mayor, el menor o el orden; o ubicar un irracional entre dos enteros. Estrategia: unifica el formato (decimal suele ser el más cómodo), acota cada raíz con cuadrados perfectos y, si dudas entre dos positivos, compara sus cuadrados. No te dejes llevar por la apariencia del radicando.

Auto-chequeo ¿Entre qué dos enteros consecutivos está √50? Sin calculadora.

Entre 7 y 8. Busco cuadrados perfectos que rodeen al 50: 7² = 49 y 8² = 64. Como 49 < 50 < 64, se cumple 7 < √50 < 8 (y como 50 está apenas sobre 49, √50 ≈ 7,07).

Pregunta tipo ECEP

Se quiere ubicar el número √10 entre dos enteros consecutivos en la recta numérica. ¿Cuál es la afirmación correcta?

A) Está entre 9 y 10, ya que la raíz de un número se ubica justo bajo ese mismo número en la recta.
B) Está entre 4 y 5, porque la raíz de un número de dos cifras siempre supera al 4.
C) Es igual a 5, porque √10 se obtiene dividiendo 10 a la mitad antes de extraer la raíz.
D) Está entre 3 y 4, porque 3² = 9 y 4² = 16, y 10 queda entre 9 y 16.

Correcta: D. Acotando con cuadrados perfectos: 3² = 9 y 4² = 16, y como 9 < 10 < 16, entonces 3 < √10 < 4 (en efecto √10 ≈ 3,16). A confunde el número con su raíz: √10 es mucho menor que 10. B inventa una "regla" falsa. C confunde la raíz con dividir entre 2 (√10 ≠ 5, pues 5² = 25).

1.1

Propiedades de los reales en problemas rutinarios y no rutinarios

Desde cero

Las operaciones con reales obedecen a un puñado de propiedades que permiten reordenar, agrupar y simplificar cálculos. Conocerlas con su nombre es lo que la prueba evalúa:

Conmutativa: el orden no altera el resultado en suma y multiplicación. a + b = b + a; a · b = b · a.
Asociativa: da igual cómo se agrupen. (a + b) + c = a + (b + c).
Distributiva: la multiplicación se reparte sobre la suma. a · (b + c) = a · b + a · c. Es la base de "sacar factor común" y de los productos notables.
Elemento neutro: el 0 en la suma (a + 0 = a) y el 1 en la multiplicación (a · 1 = a).
Elemento inverso: el opuesto −a para la suma (a + (−a) = 0) y el recíproco ¹⁄_a para la multiplicación, con a ≠ 0 (a · ¹⁄_a = 1).

Un detalle de la media: la resta y la división no son conmutativas ni asociativas (7 − 3 ≠ 3 − 7). Y el orden de las operaciones (paréntesis, potencias, · y :, + y −) manda siempre.

Figura 3. La notación de intervalos en la recta: corchete y punto lleno incluyen el extremo; paréntesis y punto vacío lo excluyen; el infinito siempre va con paréntesis.

Para qué sirven en un problema

Propiedad	La uso para…	Ejemplo de cálculo mental
Conmutativa	reordenar y sumar lo cómodo primero	17 + 8 + 3 = (17 + 3) + 8 = 28
Asociativa	agrupar para redondear	4 · (25 · 7) = (4 · 25) · 7 = 700
Distributiva	repartir un factor o sacar factor común	6 · 103 = 6 · 100 + 6 · 3 = 618
Inverso aditivo	cancelar términos opuestos	59 + 41 − 41 = 59

Ejemplo resuelto: usar las propiedades para calcular rápido

Calculemos 25 · 37 · 4 sin algoritmo largo, usando conmutativa y asociativa.

Paso 1. Reordeno (conmutativa) para juntar 25 y 4: 25 · 37 · 4 = 25 · 4 · 37.
Paso 2. Agrupo (asociativa) lo fácil: (25 · 4) · 37 = 100 · 37.
Paso 3. Multiplico por 100: 100 · 37 = 3 700.

Resultado: 3 700. Reconocer que 25 · 4 = 100 convierte un cálculo difícil en uno trivial: esa es la potencia de las propiedades.

Ejemplo resuelto: distributiva en un problema no rutinario

Una promoción vende 98 cajas a 250 pesos cada una. ¿Cuánto se recauda, calculando mentalmente?

Paso 1. Escribo 98 como 100 − 2 para aprovechar la distributiva: 250 · 98 = 250 · (100 − 2).
Paso 2. Reparto: 250 · 100 − 250 · 2 = 25 000 − 500.
Paso 3. Resto: 25 000 − 500 = 24 500.

Se recaudan 24 500 pesos. Reescribir un factor "casi redondo" con la distributiva es una técnica clásica de los ítems sin calculadora.

El error típico

"Distribuir" donde no corresponde. La distributiva es de la multiplicación sobre la suma, no al revés: 2 + (3 · 4) no es (2 + 3) · (2 + 4). También es falso "asociar" una resta: 20 − (5 − 3) = 20 − 2 = 18, mientras que (20 − 5) − 3 = 12. La resta no es asociativa, así que el paréntesis importa.

En la ECEP

Se pregunta qué propiedad justifica un paso ("¿qué propiedad se usó para escribir 7 · 12 = 7 · 10 + 7 · 2?") o se pide elegir el cálculo mental más eficiente. Estrategia: nombra la propiedad por lo que hace (reordenar → conmutativa; reagrupar → asociativa; repartir → distributiva). Y recuerda el orden de operaciones para no equivocar la jerarquía.

Auto-chequeo ¿Qué propiedad permite afirmar que 8 · 47 + 8 · 53 = 8 · (47 + 53) = 800?

La distributiva (factor común): 8 · 47 + 8 · 53 = 8 · (47 + 53) = 8 · 100 = 800. Se "saca" el 8 que multiplica a ambos sumandos, lo que convierte una suma de dos productos en un solo producto redondo.

Pregunta tipo ECEP

Un docente pide a sus estudiantes calcular 4 · 17 · 25 de la forma más eficiente, sin calculadora. ¿Cuál procedimiento aprovecha mejor las propiedades de los reales?

A) Multiplicar 4 · 17 = 68 y luego 68 · 25 mediante el algoritmo tradicional, cifra por cifra.
B) Sumar 4 + 17 + 25 = 46, pues con las propiedades la multiplicación puede reemplazarse por la suma.
C) Reordenar como 4 · 25 · 17, agrupar 4 · 25 = 100 y multiplicar 100 · 17 = 1 700.
D) Calcular 17 · 25 = 425 y dividir el resultado entre 4 para simplificar la operación.

Correcta: C. Por la conmutativa reordeno y por la asociativa agrupo 4 · 25 = 100, lo que reduce todo a 100 · 17 = 1 700. A llega al mismo número pero por un camino más largo y propenso a error, sin usar la estructura. B confunde sumar con multiplicar (las propiedades no autorizan reemplazar una por otra). D cambia indebidamente la operación: dividir entre 4 da otro resultado.

1.1

Números complejos: la unidad imaginaria y la forma a + bi

Desde cero

En los reales, √−1 no existe (ningún real elevado al cuadrado da negativo). Para resolver ecuaciones como x² + 1 = 0 se define la unidad imaginaria:

i es el número tal que i² = −1, es decir i = √−1.
Un número complejo se escribe en forma binómica z = a + bi, donde a es la parte real (Re z) y b es la parte imaginaria (Im z). Ambas son números reales.
Si b = 0, el complejo es un real puro (a). Si a = 0 y b ≠ 0, es un imaginario puro (bi). Así, los reales son un caso particular de los complejos: ℝ ⊂ ℂ.

Las potencias de i se repiten en ciclo de cuatro: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = 1, y vuelve a empezar. Para i elevado a un exponente grande, basta el resto de dividir el exponente entre 4.

Figura 4. Las potencias de la unidad imaginaria forman un ciclo de período 4. Para calcular i elevado a un exponente n, se divide n entre 4 y se mira el resto: 0→1, 1→i, 2→−1, 3→−i.

Ejemplo resuelto: una potencia grande de i

Calculemos i²³.

Paso 1. Divido el exponente entre 4: 23 = 4 · 5 + 3, así que el resto es 3.
Paso 2. Resto 3 corresponde a i³ = −i.

Por lo tanto i²³ = −i. No hace falta multiplicar i veintitrés veces: el ciclo de 4 lo resuelve con una división.

El error típico

Tratar la "parte imaginaria" como si incluyera la i. En z = 3 − 5i, la parte imaginaria es −5 (un número real), no "−5i". También es un error escribir i² = 1: por definición i² = −1. De ahí sale, por ejemplo, que (2i)² = 4i² = −4, y no +4.

En la ECEP

Aparecen ítems de identificar parte real e imaginaria, de potencias de i y de reconocer cuándo un complejo es real puro o imaginario puro. Estrategia: para i elevado a algo, usa el resto módulo 4; para clasificar, mira si a o b valen cero. Y nunca olvides que i² = −1 es el motor de todo el cálculo complejo.

Auto-chequeo En z = −4 + 7i, indica la parte real y la parte imaginaria. Y calcula i¹⁰.

Parte real Re z = −4; parte imaginaria Im z = 7 (sin la i). Para i¹⁰: 10 = 4 · 2 + 2, resto 2, así que i¹⁰ = i² = −1.

Pregunta tipo ECEP

Considere la unidad imaginaria i, definida por i² = −1. ¿Cuál es el valor de i¹&sup5;?

A) i, porque al ser 15 un número impar la potencia conserva la unidad imaginaria sin cambios.
B) −i, porque 15 dividido entre 4 deja resto 3, y i³ = i² · i = −i.
C) −1, porque toda potencia impar de i es igual al cuadrado de la unidad imaginaria.
D) 1, porque 15 es múltiplo de 5 y las potencias de i se repiten cada cinco lugares.

Correcta: B. Las potencias de i tienen período 4. Como 15 = 4 · 3 + 3, el resto es 3, y resto 3 da i³ = i² · i = (−1) · i = −i. A confunde "impar" con "deja resto 1". C generaliza mal (no toda potencia impar es −1). D usa un período equivocado (5 en vez de 4).

1.1

Adición, sustracción, multiplicación y división de complejos

Desde cero

Operar con complejos es operar con binomios, recordando siempre que i² = −1. Sean z = a + bi y w = c + di:

Suma y resta: se operan por separado parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria. z + w = (a + c) + (b + d)i; z − w = (a − c) + (b − d)i.
Multiplicación: se aplica la distributiva (como un producto de binomios) y al final se usa i² = −1. z · w = (ac − bd) + (ad + bc)i.
División: se amplifica por el conjugado del denominador para que abajo quede un número real, y luego se separa en parte real e imaginaria.

El conjugado de z = a + bi es z = a − bi (mismo número, signo opuesto en la parte imaginaria). La clave de la división es que z · z = a² + b², un real.

Las cuatro operaciones, en una mirada

Operación	Cómo se hace	Ejemplo con 3 + 2i y 1 − 4i
Suma	parte real + parte real; imaginaria + imaginaria	(3 + 1) + (2 − 4)i = 4 − 2i
Resta	cambia el signo del segundo y suma	(3 − 1) + (2 − (−4))i = 2 + 6i
Producto	distributiva + reemplazar i² = −1	(3 + 2i)(1 − 4i) = 11 − 10i
Cociente	amplificar por el conjugado del divisor	ver ejemplo resuelto

Figura 5. Sumar complejos equivale a sumar vectores en el plano de Argand: las partes reales y las imaginarias se suman por separado, y el resultado es la diagonal del paralelogramo.

Ejemplo resuelto: multiplicar dos complejos

Calculemos (3 + 2i)(1 − 4i).

Paso 1. Distribuyo todos contra todos: 3 · 1 + 3 · (−4i) + 2i · 1 + 2i · (−4i) = 3 − 12i + 2i − 8i².
Paso 2. Reemplazo i² = −1: −8i² = −8 · (−1) = +8.
Paso 3. Junto partes reales (3 + 8 = 11) e imaginarias (−12i + 2i = −10i).

Resultado: (3 + 2i)(1 − 4i) = 11 − 10i. El paso clave es no olvidar que i² convierte un término imaginario en real.

Ejemplo resuelto: dividir complejos (amplificar por el conjugado)

Calculemos ^{(4 − i)}⁄_{(2 + 3i)}.

Paso 1. Multiplico arriba y abajo por el conjugado del denominador, 2 − 3i: ^{(4 − i)(2 − 3i)}⁄_{(2 + 3i)(2 − 3i)}.
Paso 2. Denominador: (2 + 3i)(2 − 3i) = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 (queda real).
Paso 3. Numerador: (4 − i)(2 − 3i) = 8 − 12i − 2i + 3i² = 8 − 14i − 3 = 5 − 14i.
Paso 4. Divido cada parte entre 13: ⁵⁄₁₃ − ¹⁴⁄₁₃ i.

Resultado: ^{(4 − i)}⁄_{(2 + 3i)} = ⁵⁄₁₃ − ¹⁴⁄₁₃ i. Amplificar por el conjugado es lo que "saca" la i del denominador.

El error típico

Al multiplicar, dejar el término −8i² como si fuera imaginario o negativo: −8i² = +8 (un real positivo, porque i² = −1). Y al dividir, amplificar por el conjugado del numerador en vez del denominador: el conjugado que limpia la i va siempre abajo. Otro descuido: olvidar que (a + bi)(a − bi) = a² + b² (suma, no resta).

En la ECEP

Las operaciones con complejos vienen como cálculo directo ("¿cuánto vale (a + bi)(c + di)?") o como división que exige amplificar por el conjugado. Estrategia: trata la i como una letra al distribuir, reemplaza i² = −1 solo al final, y para dividir lleva siempre el conjugado del denominador. Verifica que tu resultado quede en forma a + bi.

Auto-chequeo Calcula (5 − 2i) + (−3 + 6i) y luego (5 − 2i) · i.

Suma: (5 + (−3)) + (−2 + 6)i = 2 + 4i. Producto por i: (5 − 2i) · i = 5i − 2i² = 5i − 2(−1) = 2 + 5i. Multiplicar por i "rota" el complejo: la parte real y la imaginaria intercambian papel con un cambio de signo.

Pregunta tipo ECEP

Se desea calcular el cociente ^{(3 + i)}⁄_{(1 − 2i)} y expresarlo en la forma a + bi. ¿Cuál es el resultado correcto?

A) 3 − ¹⁄₂ i, dividiendo por separado la parte real entre 1 y la imaginaria entre −2.
B) ⁵⁄₃ + ⁷⁄₃ i, usando como denominador 1² − 2² = −3 en lugar de la suma de cuadrados.
C) ³⁄₅ + ¹⁄₅ i, amplificando equivocadamente por el conjugado del numerador.
D) ¹⁄₅ + ⁷⁄₅ i, amplificando por el conjugado 1 + 2i del denominador.

Correcta: D. Amplifico por el conjugado del denominador, 1 + 2i. Denominador: (1 − 2i)(1 + 2i) = 1² + 2² = 5. Numerador: (3 + i)(1 + 2i) = 3 + 6i + i + 2i² = 3 + 7i − 2 = 1 + 7i. Luego el cociente es ¹⁄₅ + ⁷⁄₅ i. A divide parte por parte, lo que no es válido para complejos. C amplifica por el conjugado equivocado. B usa "diferencia de cuadrados" (−3) cuando z · z = a² + b² (+5).

1.1

Conjugado, módulo y representación en el plano de Argand

Desde cero

Un complejo z = a + bi se puede dibujar como un punto (o un vector desde el origen) en el plano de Argand: el eje horizontal es la parte real y el eje vertical es la parte imaginaria. Así, z = 3 + 4i es el punto (3, 4).

Conjugado z = a − bi: es el reflejo de z respecto del eje real (misma parte real, parte imaginaria con signo opuesto). En el plano, z = 3 + 4i y z = 3 − 4i son simétricos arriba y abajo del eje horizontal.
Módulo |z| = √a² + b²: es la distancia del punto al origen, el "largo" del vector. Sale del teorema de Pitágoras con catetos a y b. Es siempre un real ≥ 0.
Una relación útil: z · z = a² + b² = |z|². El producto de un complejo por su conjugado es el módulo al cuadrado.

Figura 6. En el plano de Argand, z = 3 + 4i es el vector que va del origen al punto (3, 4). Su módulo |z| = √3² + 4² = √25 = 5 es el largo del vector. El conjugado 3 − 4i es el reflejo respecto del eje real.

Ejemplo resuelto: módulo y conjugado

Para z = −5 + 12i, hallemos el conjugado y el módulo.

Paso 1 (conjugado). Cambio el signo de la parte imaginaria: z = −5 − 12i.
Paso 2 (módulo). Aplico |z| = √a² + b² con a = −5, b = 12: |z| = √(−5)² + 12² = √25 + 144 = √169.
Paso 3. √169 = 13.

Conjugado: −5 − 12i; módulo: |z| = 13. Observa que el módulo no depende de los signos de a y b (van al cuadrado), así que z y su conjugado tienen el mismo módulo.

El error típico

Confundir módulo con conjugado. El conjugado es otro complejo (3 − 4i, con la parte imaginaria de signo opuesto); el módulo es un número real ≥ 0 (la distancia al origen, 5). Otro descuido: olvidar elevar al cuadrado antes de sumar dentro de la raíz, o restar a² − b² en vez de sumar a² + b².

En la ECEP

Hay ítems que piden el módulo, el conjugado o reconocer la posición del complejo en el plano de Argand (en qué cuadrante cae, dónde queda su conjugado). Estrategia: para el módulo aplica Pitágoras (√a² + b²); para ubicar en el plano, lee a como abscisa y b como ordenada, y recuerda que el conjugado refleja sobre el eje real.

Auto-chequeo Para z = 6 − 8i, da el conjugado y el módulo. ¿En qué cuadrante del plano de Argand está z?

Conjugado: 6 + 8i. Módulo: |z| = √6² + (−8)² = √36 + 64 = √100 = 10. Como a = 6 > 0 y b = −8 < 0, el punto (6, −8) está en el cuarto cuadrante (derecha-abajo).

Pregunta tipo ECEP

En el plano de Argand se representa el número complejo z = −8 + 6i como un vector desde el origen. ¿Cuál es el módulo de z?

A) −2, porque el módulo se obtiene sumando directamente la parte real y la imaginaria (−8 + 6).
B) 10, porque |z| = √(−8)² + 6² = √64 + 36 = √100.
C) √28, porque |z| = √(−8)² − 6² = √64 − 36.
D) −8 − 6i, porque el módulo de un complejo coincide con su conjugado.

Correcta: B. El módulo es la distancia al origen: |z| = √a² + b² = √(−8)² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10. A suma las partes en vez de aplicar Pitágoras (y un módulo nunca es negativo). C resta los cuadrados en lugar de sumarlos. D confunde módulo (un real) con conjugado (otro complejo).

Subdominio 1.2 · Potencias, raíces enésimas y logaritmos

Tres formas de mirar la misma relación

Potencias, raíces y logaritmos no son tres temas sueltos: son tres maneras de escribir la misma igualdad, y la prueba premia saber pasar de una a otra. Aquí aprenderás a relacionarlas (convertir entre potencia, raíz y logaritmo), a operar con sus propiedades (productos, cocientes, potencia de potencia, propiedades del logaritmo) y a modelar situaciones reales: crecimiento y decaimiento exponencial, y escalas logarítmicas como el pH, la escala Richter o los decibeles.

1.2

Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos (conversiones)

Desde cero

Partimos de una sola igualdad, bⁿ = N (la base b elevada al exponente n da N), y la leemos de tres maneras según qué dato falte:

Potencia: conozco la base y el exponente, busco el resultado. 2³ = 8.
Raíz enésima: conozco el resultado y el exponente, busco la base. ³√8 = 2 (¿qué número, elevado a 3, da 8?).
Logaritmo: conozco la base y el resultado, busco el exponente. log₂ 8 = 3 (¿a qué exponente elevo 2 para obtener 8?).

Dos puentes que conviene memorizar: la raíz es una potencia de exponente fraccionario, ⁿ√a = a^1/n; y el logaritmo es, por definición, el exponente: log_b N = x significa exactamente b^x = N.

Figura 7. Potencia, raíz y logaritmo son tres lecturas de bⁿ = N. La potencia despeja el resultado, la raíz despeja la base y el logaritmo despeja el exponente. Saber convertir entre ellas resuelve la mayoría de los ítems del subdominio.

Tabla de conversión

Forma potencia	Forma raíz	Forma logaritmo
2³ = 8	³√8 = 2	log₂ 8 = 3
5² = 25	√25 = 5	log₅ 25 = 2
10³ = 1000	³√1000 = 10	log₁₀ 1000 = 3
9^1/2 = 3	√9 = 3	log₉ 3 = ¹⁄₂

Casos que conviene tener de memoria: log_b 1 = 0 (porque b⁰ = 1) y log_b b = 1 (porque b¹ = b), para cualquier base b > 0, b ≠ 1.

Ejemplo resuelto: calcular un logaritmo por definición

Calculemos log₃ 81.

Paso 1. Me pregunto: ¿a qué exponente elevo 3 para obtener 81? Es decir, busco x en 3^x = 81.
Paso 2. Escribo 81 como potencia de 3: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81.
Paso 3. Entonces 3⁴ = 81, así que x = 4.

Resultado: log₃ 81 = 4. La clave es traducir el logaritmo a su pregunta ("¿qué exponente?") y expresar el número como potencia de la base.

El error típico

Leer log₂ 8 como "2 por 8" o como "8 entre 2". El logaritmo no es una multiplicación ni una división: es el exponente (aquí, 3, porque 2³ = 8). Otro error con raíces: pensar que ³√8 = 4 ("la mitad de 8"); en realidad pregunta qué número al cubo da 8, y eso es 2.

En la ECEP

Te piden convertir entre las tres formas ("escribe 2⁵ = 32 como logaritmo") o calcular un logaritmo o una raíz exacta por definición. Estrategia: lleva todo a potencias de la misma base; identifica quién es la base, quién el exponente y quién el resultado, y recuerda que log_b N = exponente al que se eleva b para llegar a N.

Auto-chequeo Escribe 4³ = 64 en forma de raíz y en forma de logaritmo. Luego calcula log₂ 32.

Raíz: ³√64 = 4. Logaritmo: log₄ 64 = 3. log₂ 32: como 2⁵ = 32, se tiene log₂ 32 = 5.

Pregunta tipo ECEP

La igualdad 6² = 36 puede reescribirse usando logaritmos. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la correcta?

A) log₂ 36 = 6, tomando como base el exponente y como argumento el resultado de la potencia.
B) log₆ 36 = 2, porque el logaritmo entrega el exponente al que se eleva la base 6 para obtener 36.
C) log₃₆ 6 = 2, ubicando el resultado de la potencia como base del logaritmo.
D) log₆ 2 = 36, dado que el logaritmo devuelve siempre el número mayor de la igualdad.

Correcta: B. En bⁿ = N, la forma logarítmica es log_b N = n. Con b = 6, n = 2, N = 36 queda log₆ 36 = 2 (el logaritmo es el exponente). A confunde base con exponente. C pone el resultado (36) como base. D inventa una regla falsa: el logaritmo no es "el número mayor".

1.2

Operar aplicando las propiedades de potencias, raíces y logaritmos

Desde cero

Cada familia tiene sus reglas de operación. Las de potencias de igual base son la raíz de todo lo demás:

Producto: a^m · aⁿ = a^m+n (se suman exponentes).
Cociente: a^m : aⁿ = a^m−n (se restan).
Potencia de potencia: (a^m)ⁿ = a^m·n (se multiplican).
Exponente cero y negativo: a⁰ = 1; a⁻ⁿ = ¹⁄_aⁿ.
Raíz como potencia: ⁿ√a^m = a^m/n, lo que permite operar raíces con las reglas de potencias.

Como un logaritmo "es" un exponente, las propiedades del logaritmo son el espejo de las de potencias:

Del producto: log_b(M · N) = log_b M + log_b N (el log de un producto es la suma de los logs).
Del cociente: log_b(M : N) = log_b M − log_b N (la resta).
De la potencia: log_b(M^k) = k · log_b M (el exponente "baja" multiplicando).

El espejo potencias ↔ logaritmos

En potencias…	…en logaritmos	Por qué
multiplicar (a^m · aⁿ)	sumar (log M + log N)	al multiplicar potencias se suman exponentes
dividir (a^m : aⁿ)	restar (log M − log N)	al dividir potencias se restan exponentes
elevar ((M)^k)	multiplicar (k · log M)	el exponente baja como factor

Figura 8. Las propiedades del logaritmo "rebajan" una operación: el log de un producto se convierte en suma, el de un cociente en resta y el de una potencia hace bajar el exponente como factor. Son el espejo de las reglas de potencias de igual base.

Ejemplo resuelto: simplificar potencias

Simplifiquemos ^{(x⁵ · x²)}⁄_x³.

Paso 1. Arriba, producto de igual base: x⁵ · x² = x⁵⁺² = x⁷.
Paso 2. Ahora cociente de igual base: ^x⁷⁄_x³ = x⁷⁻³ = x⁴.

Resultado: x⁴. Primero se suman los exponentes del producto, después se restan los del cociente; las reglas evitan desarrollar la multiplicación.

Ejemplo resuelto: usar propiedades del logaritmo

Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y log 3 ≈ 0,477 (logaritmos en base 10), calculemos log 6 y log 9.

log 6: como 6 = 2 · 3, uso la propiedad del producto: log 6 = log 2 + log 3 ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778.
log 9: como 9 = 3², uso la propiedad de la potencia: log 9 = 2 · log 3 ≈ 2 · 0,477 = 0,954.

Sin calcular ningún logaritmo nuevo, las propiedades permiten obtener log 6 y log 9 a partir de log 2 y log 3. Eso es exactamente lo que la prueba evalúa.

El error típico

Pensar que log(M + N) = log M + log N. Falso: la propiedad de la suma de logaritmos vale para el producto, no para la suma: log(M · N) = log M + log N. También es un error multiplicar los exponentes en un producto de igual base (a² · a³ = a⁵, no a⁶: a⁶ sería (a²)³, potencia de potencia).

En la ECEP

Aparecen ítems de simplificar expresiones con potencias o raíces y de descomponer un logaritmo usando producto, cociente y potencia (a menudo dando log 2 y log 3 como datos). Estrategia: identifica la base común, aplica sumar/restar/multiplicar exponentes según corresponda, y para logaritmos factoriza el argumento (6 = 2·3, 9 = 3², 12 = 2²·3) antes de aplicar las propiedades.

Auto-chequeo Con log 2 ≈ 0,301 y log 3 ≈ 0,477, calcula log 12.

Factorizo: 12 = 2² · 3. Entonces log 12 = log(2²) + log 3 = 2 · log 2 + log 3 ≈ 2 · 0,301 + 0,477 = 0,602 + 0,477 = 1,079. Combino la propiedad del producto y la de la potencia.

Pregunta tipo ECEP

Usando las propiedades de los logaritmos, ¿a cuál de las siguientes expresiones equivale log_b(^x³⁄_y)?

A) 3 · (log_b x − log_b y), porque el exponente 3 multiplica a toda la diferencia de logaritmos.
B) log_b x³ · log_b y, pues el cociente dentro del logaritmo se transforma en un producto de logaritmos.
C) 3 · log_b x − log_b y, aplicando la propiedad del cociente y luego bajando el exponente del numerador.
D) ^{3 · log_b x}⁄_{log_b y}, manteniendo la división entre los logaritmos del numerador y del denominador.

Correcta: C. Primero, log del cociente = resta: log_b(x³) − log_b y. Luego, el exponente baja: log_b(x³) = 3 · log_b x. Queda 3 · log_b x − log_b y. A aplica el 3 a toda la resta (el exponente solo afecta a x). B convierte un cociente en producto (no existe esa regla). D deja una división de logaritmos, que tampoco corresponde.

Pregunta tipo ECEP

Si log 2 ≈ 0,301 y log 3 ≈ 0,477 (logaritmos en base 10), ¿cuál es el valor aproximado de log 18?

A) 1,255, factorizando 18 = 2 · 3² y aplicando log 2 + 2 · log 3.
B) 0,778, calculando log 18 como log 2 + log 3, sin considerar el exponente del 3.
C) 9,000, dividiendo 18 entre 2 y entregando ese cociente como valor del logaritmo.
D) 0,431, multiplicando entre sí los valores dados de log 2 y log 3.

Correcta: A. Factorizo 18 = 2 · 9 = 2 · 3². Por la propiedad del producto y la de la potencia: log 18 = log 2 + 2 · log 3 ≈ 0,301 + 2 · 0,477 = 0,301 + 0,954 = 1,255. B olvida el exponente (toma 18 = 2 · 3 en vez de 2 · 3²). C confunde el logaritmo con dividir entre 2. D multiplica los logaritmos, cuando la propiedad del producto exige sumarlos.

1.2

Modelar situaciones: crecimiento exponencial y escalas logarítmicas

Desde cero

Muchos fenómenos no crecen de a poco y parejo (eso es lineal), sino multiplicándose en cada paso: ahí entran las potencias y los logaritmos.

Crecimiento exponencial: una cantidad se multiplica por un factor fijo cada período. Modelo: C(t) = C₀ · r^t, donde C₀ es la cantidad inicial, r el factor por período y t el tiempo. Si r > 1 hay crecimiento (una población que se duplica, un capital con interés); si 0 < r < 1 hay decaimiento (un fármaco que se elimina, un material radiactivo).
Escalas logarítmicas: cuando los valores abarcan rangos enormes, se mide con el logaritmo del valor, de modo que sumar 1 en la escala equivale a multiplicar por 10 (o por la base) en la realidad. Así funcionan el pH (acidez), la escala Richter (sismos) y los decibeles (sonido).

La consecuencia práctica de una escala logarítmica base 10: subir 2 unidades en la escala significa multiplicar por 10² = 100 la magnitud real.

Figura 9. Modelo C(t) = C₀ · r^t. Con factor r > 1 la cantidad crece cada vez más rápido; con 0 < r < 1 decae, acercándose al eje sin tocarlo. La diferencia con un modelo lineal es que aquí se multiplica por un factor en cada período, no se suma una cantidad fija.

Tres escalas logarítmicas que la prueba menciona

Escala	Mide	Qué significa subir 1 unidad
pH	acidez de una disolución	la concentración cambia ×10 (un pH menor = más ácido)
Richter	energía de un sismo	la amplitud registrada se multiplica por 10
Decibeles	intensidad del sonido	cada +10 dB ya es ×10 en intensidad

Ejemplo resuelto: crecimiento exponencial

Una colonia de bacterias parte con 500 individuos y se duplica cada hora. ¿Cuántas habrá a las 4 horas?

Paso 1. El factor por hora es r = 2 (se duplica). Modelo: C(t) = 500 · 2^t.
Paso 2. Evalúo en t = 4: C(4) = 500 · 2⁴.
Paso 3. Calculo 2⁴ = 16, luego 500 · 16 = 8 000.

A las 4 horas habrá 8 000 bacterias. Lo esencial es ver que "duplicarse cada hora" es multiplicar por 2 elevado al número de horas, no sumar una cantidad fija.

Ejemplo resuelto: escala logarítmica (Richter)

En la escala Richter (base 10), un sismo de magnitud 7 frente a uno de magnitud 5. ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del primero?

Paso 1. La diferencia de magnitudes es 7 − 5 = 2 unidades.
Paso 2. Cada unidad multiplica la amplitud por 10; dos unidades, por 10².
Paso 3. 10² = 100.

El sismo de magnitud 7 tiene una amplitud 100 veces mayor que el de magnitud 5. En una escala logarítmica, una diferencia "pequeña" en el número significa una diferencia enorme en la realidad.

El error típico

Tratar una escala logarítmica como si fuera lineal: creer que un sismo de magnitud 7 es "7 / 5 = 1,4 veces" más fuerte que uno de 5. No: como la escala es logarítmica base 10, la diferencia de 2 unidades equivale a 10² = 100 veces. Y en crecimiento exponencial, confundir "se duplica cada hora" (multiplicar por 2^t) con "aumenta 2 cada hora" (sumar 2t): son modelos distintos.

En la ECEP

Hay problemas de población/capital/fármaco que exigen el modelo C₀ · r^t, y problemas de escalas (pH, Richter, decibeles) donde una diferencia de unidades se traduce a un factor de 10 elevado a esa diferencia. Estrategia: identifica si el fenómeno es lineal (suma fija) o exponencial (factor fijo); en escalas log, calcula la diferencia de unidades y elévalo a la base. Pregúntate siempre si el resultado debe ser mucho mayor o menor.

Auto-chequeo Un capital de 200 000 pesos crece un factor 3 cada año (se triplica). ¿Cuánto habrá a los 3 años?

Modelo C(t) = 200 000 · 3^t. A los 3 años: 200 000 · 3³ = 200 000 · 27 = 5 400 000 pesos. Triplicarse cada año significa multiplicar por 3 elevado al número de años, no sumar.

Pregunta tipo ECEP

La escala de magnitud de Richter es logarítmica en base 10: cada unidad de aumento corresponde a multiplicar por 10 la amplitud registrada del sismo. Un terremoto de magnitud 8 ¿cuántas veces mayor es, en amplitud, que uno de magnitud 5?

A) 3 veces mayor, porque la diferencia entre las magnitudes 8 y 5 es de 3 unidades.
B) 30 veces mayor, multiplicando la diferencia de 3 unidades por los 10 de la base.
C) 1 000 veces mayor, porque 3 unidades de diferencia equivalen a 10³.
D) 100 000 veces mayor, elevando 10 a las dos magnitudes sumadas (8 + 5).

Correcta: C. La diferencia de magnitud es 8 − 5 = 3 unidades, y cada unidad multiplica por 10, así que el factor es 10³ = 1 000. El de magnitud 8 tiene una amplitud 1 000 veces mayor. A trata la escala como lineal (resta directa). B multiplica mal (3 × 10). D suma las magnitudes en vez de restarlas.

Pregunta tipo ECEP

Un medicamento se elimina del organismo de modo que cada 6 horas queda la mitad de la dosis presente. Si se administran 80 mg, ¿cuántos miligramos quedan al cabo de 18 horas?

A) 10 mg, porque en 18 horas transcurren 3 períodos de 6 horas y la dosis se multiplica por (¹⁄₂)³.
B) 40 mg, ya que basta dividir la dosis inicial entre 2 una sola vez al final de las 18 horas.
C) 26,7 mg, dividiendo los 80 mg en tres partes iguales correspondientes a cada período.
D) 0 mg, porque tras varios períodos de eliminación el fármaco desaparece por completo del organismo.

Correcta: A. Es decaimiento exponencial con factor r = ¹⁄₂ cada 6 horas. En 18 horas hay 18 : 6 = 3 períodos, así que queda 80 · (¹⁄₂)³ = 80 · ¹⁄₈ = 10 mg. B divide una sola vez (ignora los tres períodos). C reparte linealmente (80 : 3), que no es el modelo. D es falso: la cantidad se reduce a la mitad cada vez, pero nunca llega exactamente a cero.

Pregunta tipo ECEP

El número de bacterias de un cultivo se triplica cada hora. Si al comienzo hay 20 bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 3 horas?

A) 540, porque se aplica el modelo 20 · 3³ = 20 · 27, ya que triplicarse cada hora multiplica por 3 elevado a las horas.
B) 180, multiplicando la cantidad inicial por 3 una sola vez al final de las tres horas.
C) 29, sumando 3 bacterias por cada una de las 3 horas a las 20 iniciales.
D) 60, multiplicando directamente las 20 bacterias por las 3 horas transcurridas.

Correcta: A. Crecimiento exponencial con C₀ = 20 y factor r = 3 por hora: C(3) = 20 · 3³ = 20 · 27 = 540. B triplica una sola vez (ignora que ocurre cada hora). C usa un modelo lineal sumando 3 por hora. D confunde "triplicarse cada hora" con multiplicar por el número de horas.